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diudiuu

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数学公式都可以支持了吗
测试

泰勒公式

一元函数泰勒公式

设函数 f(x)f(x) 在点 x0x_0 处具有 nn 阶导数，则在 x0x_0 的某个邻域内，有：

f(x)=f(x0)+f′(x0)(x−x0)+f′′(x0)2!(x−x0)2+⋯+f(n)(x0)n!(x−x0)n+Rn(x)f(x) = f(x_0) + f'(x_0)(x-x_0) + \frac{f''(x_0)}{2!}(x-x_0)^2 + \cdots + \frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n + R_n(x)

即：

f(x)=∑k=0nf(k)(x0)k!(x−x0)k+Rn(x)f(x) = \sum_{k=0}^{n} \frac{f^{(k)}(x_0)}{k!}(x-x_0)^k + R_n(x)

余项形式

佩亚诺（Peano）余项：

Rn(x)=o((x−x0)n),x→x0R_n(x) = o\left((x-x_0)^n\right), \quad x \to x_0

拉格朗日（Lagrange）余项：

Rn(x)=f(n+1)(ξ)(n+1)!(x−x0)n+1R_n(x) = \frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x-x_0)^{n+1}

其中 ξ\xi 介于 x0x_0 与 xx 之间。

麦克劳林公式（x0=0x_0 = 0 的特殊情形）

f(x)=f(0)+f′(0)x+f′′(0)2!x2+⋯+f(n)(0)n!xn+Rn(x)f(x) = f(0) + f'(0)x + \frac{f''(0)}{2!}x^2 + \cdots + \frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n + R_n(x)

常见函数的麦克劳林展开

ex=1+x+x22!+x33!+⋯+xnn!+o(xn)e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots + \frac{x^n}{n!} + o(x^n) sin⁡x=x−x33!+x55!−⋯+(−1)nx2n+1(2n+1)!+o(x2n+2)\sin x = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \cdots + (-1)^{n}\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!} + o(x^{2n+2}) cos⁡x=1−x22!+x44!−⋯+(−1)nx2n(2n)!+o(x2n+1)\cos x = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \cdots + (-1)^{n}\frac{x^{2n}}{(2n)!} + o(x^{2n+1}) ln⁡(1+x)=x−x22+x33−⋯+(−1)n−1xnn+o(xn)\ln(1+x) = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \cdots + (-1)^{n-1}\frac{x^n}{n} + o(x^n) 11−x=1+x+x2+⋯+xn+o(xn)\frac{1}{1-x} = 1 + x + x^2 + \cdots + x^n + o(x^n) (1+x)α=1+αx+α(α−1)2!x2+⋯+α(α−1)⋯(α−n+1)n!xn+o(xn)(1+x)^\alpha = 1 + \alpha x + \frac{\alpha(\alpha-1)}{2!}x^2 + \cdots + \frac{\alpha(\alpha-1)\cdots(\alpha-n+1)}{n!}x^n + o(x^n)

多元函数泰勒公式（二元情形）

设 f(x,y)f(x,y) 在点 (x0,y0)(x_0,y_0) 附近具有二阶连续偏导数，则：

f(x,y)=f(x0,y0)+fx(x0,y0)Δx+fy(x0,y0)Δy+12!(fxxΔx2+2fxyΔxΔy+fyyΔy2)+⋯f(x,y) = f(x_0,y_0) + f_x(x_0,y_0)\Delta x + f_y(x_0,y_0)\Delta y + \frac{1}{2!}\left(f_{xx}\Delta x^2 + 2f_{xy}\Delta x\Delta y + f_{yy}\Delta y^2\right) + \cdots

其中 Δx=x−x0, Δy=y−y0\Delta x = x - x_0,\ \Delta y = y - y_0。

评论帖子求教, 哪里可以买个便宜的国外小鸡, 最低配置就行, 主要是要便宜.

netcup

评论帖子来了雷了，12 点吃饭，13 点上班， 不准在公司工位吃饭

离跑不远了

评论帖子【💰】通勤自行车推荐

大行

评论帖子今日话题，各位有啥居家好物推荐？

cunning 配合洗洁精+一点白酒。把火碱变为小苏打会更温和

评论帖子v站最近这帮人是有啥毛病么？天天观这个有感，观那个有感，然后再来个套娃，观「观xxx」有感！

骗币得，看见第二个相似得什么什么的，这个人会被拉黑

评论帖子如何让两个agent相互对话，督促检查对方干活
评论帖子求心理阴影面积

cunning 习惯了，之前去买葡萄，回来都要一个一个洗，因为有一次吃到活的蜗牛了

评论帖子求心理阴影面积

@Annax facepalm 其实我觉得那个石榴籽挺好吃的

评论帖子求心理阴影面积

contorted 我这是老医生给我说的，我高中同学他爷，去他家玩给我说的。可能大家都不太一样，大家不要学我。

评论帖子只有我一个人卡的不动得吗

@Jimmy 借楼反馈一下一个问题

https://2libra.com/post/slacking-off/fiGbUhi

我这个帖子应该是有修改名字的，好像系统移动节点了，名字又被改回去了
你看下是不是有幻读的问题
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评论帖子求心理阴影面积

应该是果蝇，挑选不要有疤痕，还有黑色皮的

评论帖子新鼠标到了，不出意外应该是这辈子最后用的罗技鼠标了

右边两个我都有

评论帖子求问，网页支付

国内国外

评论帖子1亿个文件删除问题

有这么大的需求？磁盘 io 顶的住？

评论帖子壁纸

doge 你老公知道吗

评论帖子壁纸

这个是国外的不存在版权问题的

评论帖子昨天去逛超市

@morkertmaurine 有粑粑呀contorted

评论帖子壁纸
评论帖子壁纸

扣我金币了
https://unsplash.com/

评论帖子周日

很难看见你头像

评论帖子不行咱把潘多拉放出来了吧, 直接金币抽盲盒. 收割一下那些盲盒赌徒.

搞成集卡的

评论帖子昨天去逛超市

额，不洗吗？上面可能有粑粑

评论帖子这台MacBook Pro 2015还有什么价值吗？

给你家孩子用吧，卖了也不值几个钱

评论帖子今天上班简直了，群聊也没人说话，论坛也没有新鲜事。。。。。。。。。。

thanks

评论帖子claude code是不是目前地表最强vibe code程序？

是得

评论帖子Zcode被爆出静默全量上传整个工作区

基操基槽都坐下

评论帖子今天发呆赚钱

doge 定啥，定花

评论帖子今天发呆赚钱

@Annax 登完研究明白了。再来分享

评论帖子今天发呆赚钱

@Annax 买了，还在研究我家这匹马得拴法，不是不乐意玩，是睡不着

评论帖子今天发呆赚钱

@Annax 我媳妇买的，我只能描述，一本很花很花得塑料书，上面画得马

评论帖子今天发呆赚钱

@Annax 自己长脑子了
前几天看镜子，还高兴得不得了，手摸镜子
这几天看见镜子就扭头，很不高兴

评论帖子【历史】铭记九一八事件 95 周年

日本人永远都是日本人

评论帖子今天发呆赚钱

最近像个摔炮，落地就响

评论帖子今天发呆赚钱

我耳朵有声音

评论帖子站内有人看到这个相关活动吗？

99 吧

评论帖子赛力斯这事大家怎么看

买车的是冤大头

评论帖子买 VPS 上瘾了，有便宜的海外 vps 吗

netcup

评论帖子【💰】求点真实数据，你们用模型的，能否说下用的什么模型，多少token多少次请求多少价格

composer2.5 依旧能打

评论帖子新增每日活跃金币奖励和编辑器输入表情提示功能

打 dog 出会不会更好点

评论帖子【💰】求点真实数据，你们用模型的，能否说下用的什么模型，多少token多少次请求多少价格

万年 cursor 开 auto

评论帖子附近在旧改拆迁，看到群友拍的一张照片很有感觉

这个围栏的不弄了啊

评论帖子真的有人用AI赚到钱了嘛

@Annax 不知道啊，麻烦的，就正常睡

评论帖子真的有人用AI赚到钱了嘛

@Annax 我觉得没有不舒服，就是想起来玩

评论帖子真的有人用AI赚到钱了嘛

cunning 昨晚 12 点开始一直就不睡，只能抱，一直搞到 3 点

评论帖子真的有人用AI赚到钱了嘛

暂时没有

评论帖子想500以内收个安卓机给家里老人用，有出的朋友嘛？

买个 oppo 得也就 1500 左右还可以，不行就荣耀得

评论帖子为什么没有八字交流的帖子，像我这种重度爱好者在这个论坛有点寂寞了，

还有出生地呢

评论帖子为什么没有八字交流的帖子，像我这种重度爱好者在这个论坛有点寂寞了，
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